Nació en Madrid. Josué Ullate Andrés recibe su formación en la escuela Víctor Ullate, con maestros como Víctor Ullate, María Fernández, Menia Martínez entre otros. En el año 2008 obtiene una beca para estudiar en la Escuela Nacional de Cuba teniendo como maestros a Giselle Dejá, Mirta Hermida, entre otros.
En el año 2010 pasa a formar parte de la compañía Víctor Ullate Ballet. En el año 2014 asciende a la categoría de bailarín principal bailando roles en ballets cómo Coppélia, El amor Brujo, Carmen, Canciones de un compañero errante, Bolero de Ravel, Samsara, Jaleos, entre otros.
Ese mismo año recibe el Premio Positano Leonide Massine como mejor bailarín revelación de la escena contemporánea.
En el año 2015 es nominado como finalista a los Premios Max cómo mejor intérprete masculino.
En el año 2021 pasa a formar parte como bailarín solista en la Tanzcompany Innsbruck dirigida por Enrique Gasa Valga donde interpreta roles solistas y principales en ballets como Romy Schneider, Terra Baixa, María de Buenos Aires, Lorca (creado para él) entre otros. También participa en piezas cómo Saraband (Jirí Kylián), Gnawa (Nacho Duato), entre otros.
En el año 2022 entra a formar parte de la Compañía Nacional de Danza como solista bajo la dirección de Joaquín De Luz.
